Question

【题目】如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G．

（1）求证：DG＝BC；

（2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由．

（3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当F运动到AF＝AD时，FD∥BG，理由见解析；（3）FH＝HD，理由见解析

【解析】

（1）证明△DEG≌△CEB（AAS）即可解决问题．

（2）想办法证明∠AFD＝∠ABG＝45°可得结论．

（3）结论：FH＝HD．利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．

（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE，

∵E是DC的中点，即 DE＝CE，

∴△DEG≌△CEB（AAS），

∴DG＝BC；

（2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG．

理由：由（1）知DG＝BC，

∵AB＝AD+BC，AF＝AD，

∴BF＝BC＝DG，

∴AB＝AG，

∵∠BAG＝90°，

∴∠AFD＝∠ABG＝45°，

∴FD∥BG，

故答案为：F运动到AF＝AD时，FD∥BG；

（3）解：结论：FH＝HD．

理由：由（1）知GE＝BE，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG，

∵FD∥BG，

∴AE⊥FD，

∵△AFD为等腰直角三角形，

∴FH＝HD，

故答案为：FH＝HD．