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【题目】如图,抛物线y=﹣+bx+cx轴于点A﹣20)和点B,交y轴于点C03),点Dx轴上一动点,连接CD,将线段CD绕点D旋转得到DE,过点E作直线lx轴,垂足为H,过点CCFlF,连接DF

1)求抛物线解析式;

2)若线段DECD绕点D顺时针旋转90°得到,求线段DF的长;

3)若线段DECD绕点D旋转90°得到,且点E恰好在抛物线上,请求出点E的坐标.

【答案】(1) 抛物线解析式为y=﹣(2) DF=3(3) E的坐标为E141)或E2 )或E3)或E4).

【解析】

1)将点AC坐标代入抛物线解析式求解可得;

2)证COD≌△DHEDH=OC,由CFFH知四边形OHFC是矩形,据此可得FH=OC=DH=3,利用勾股定理即可得出答案;

3)设点D的坐标为(t0),由(1)知COD≌△DHEDH=OCEH=OD,再分CD绕点D顺时针旋转和逆时针旋转两种情况,表示出点E的坐标,代入抛物线求得t的值,从而得出答案.

1抛物线y=﹣+bx+cx轴于点A﹣20)、C03),,解得:抛物线解析式为y=﹣+x+3

2)如图1

∵∠CDE=90°COD=DHE=90°∴∠OCD+ODC=HDE+ODC∴∠OCD=HDE

DC=DE∴△COD≌△DHEDH=OC

CFFH四边形OHFC是矩形,FH=OC=DH=3DF=3

3)如图2,设点D的坐标为(t0).

E恰好在抛物线上,且EH=ODDHE=90°由(2)知,COD≌△DHEDH=OCEH=OD,分两种情况讨论:

CD绕点D顺时针旋转时,点E的坐标为(t+3t),代入抛物线y=﹣+x+3,得:t+32+t+3+3=t,解得:t=1t=﹣,所以点E的坐标E141)或E2);

CD绕点D逆时针旋转时,点E的坐标为(t﹣3t),代入抛物线y=﹣+x+3得:t﹣32+t﹣3+3=﹣t,解得:t=t=.故点E的坐标E3)或E4);

综上所述:点E的坐标为E141)或E2)或E3)或E4).

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