Question

【题目】已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF连接EF

（1）如图1，求证：∠BED=∠AFD；

（2）求证：BE2+CF2=EF2；

（3）如图2，当∠ABC=45°，若BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）利用四边形内角和得出∠AED+∠AFD=180°，再根据补角的性质即可得；

（2）延长ED至点P，使ED=DP，构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到直角三角形，由勾股定理及等量代换可得；

（3）由（2）结论求EF长，再通过全等证明DE=DF,由面积公式求解.

解：（1）∵DE⊥DF,

∴∠EDF=90°,

∵∠BAC=90°,

∴∠AED+∠AFD=180°,

∵∠AED+∠BED=180°,

∴∠BED=∠AFD；

（2）如图，

延长ED至点P，使ED=DP，连接CP,EP,

∵FD⊥EP,

∴FD为EP的垂直平分线，

∴EF=FP,

∵ED=DP, ∠EDB=∠CDP，BD=CD，

∴△EDB≌PDC,

∴EB=CP, ∠B=∠DCP,

∵∠BAC=90°,

∴∠B+∠ACB=90°,

∴∠DCP+∠ACB=90°,

即∠ACP=90°,

由勾股定理得，CP2+CF2=FP2，

∴BE2+CF2=EF2；

（3）如图，∵BE2+CF2=EF2

∴52+122=EF2，

∴EF=13，

∵△ABC是等腰直角三角形，BD=CD,

∴AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∠BAD=∠B=∠C=45°,

∵∠EDF=90°

∴∠ADE=∠CDF,

∴△ADE≌CDF,

∴DE =DF= ,

∴S△DEF= .