Question

【题目】问题背景：

如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，从而得出结论：AC+BC=CD．

简单应用：

（1）在图①中，若AC=2，BC=4，则CD= ．

（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，弧AD＝弧BD，若AB=13，BC=12，求CD的长．

拓展规律：

（3）如图4,△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE=AC，CE=CA，且点E在直线AC的左侧时，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】

（1）由题意可知：AC+BC= CD，所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度；（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；（3）当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、CP后，利用（2）的结论进行求解即可．

（1）由题意知：AC+BC= CD，

∴2+4 = CD，

∴CD=3；

（2）解：连接AC、BD、AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°，

∵ ，

∴AD=BD，

将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，如图③，

∴∠EAD=∠DBC，

∵∠DBC+∠DAC=180°，

∴∠EAD+∠DAC=180°，

∴E、A、C三点共线，

∵AB=13，BC=12，

∴由勾股定理可求得：AC=5，

∵BC=AE，

∴CE=AE+AC=17，

∵∠EDA=∠CDB，

∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，

即∠EDC=∠ADB=90°，

∵CD=ED，

∴△EDC是等腰直角三角形，

∴CE=CD，

∴CD= ；

（3）当点E在直线AC的左侧时，如图④，

连接CQ，PC，

∵AC=BC，∠ACB=90°，点P是AB的中点，

∴AP=CP，∠APC=90°，

又∵CA=CE，点Q是AE的中点，

∴∠CQA=90°，

设AC=a，

∵AE= AC，

∴AE= a，

∴AQ= AE= ，

由勾股定理可求得：CQ= a，

由（2）的证明过程可知：AQ+CQ= PQ，

∴ PQ= a+ a，

∴ PQ= AC或；

∴当点E在直线AC的左侧时，线段PQ与AC的数量关系是 PQ= AC或．