【题目】如图,已知正方形 的边长为 ,点 、 分别在边 、 上,且 , 、 交于点 .下列结论:,,, 中,正确的有________________.
【答案】①③④
【解析】
由正方形ABCD的边长为4,AE=BF=1,利用SAS易证得△EBC≌△FCD,然后全等三角形的对应角相等,易证得①∠DOC=90°正确;②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质,可得②错误;易证得∠OCD=∠DFC,即可求得③正确;由①易证得④正确.
解:∵正方形ABCD的边长为4,
∴BC=CD=4,∠B=∠DCF=90°,
∵AE=BF=1,
∴BE=CF=4-1=3,
在△EBC和△FCD中,
,
∴△EBC≌△FCD(SAS),
∴∠CFD=∠BEC,
∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°,
∴∠DOC=90°;故①正确;
连接DE,如图所示:
若OC=OE,
∵DF⊥EC,
∴CD=DE,
∵CD=AD<DE(矛盾),故②错误;
∵∠OCD+∠CDF=90°,∠CDF+∠DFC=90°,
∴∠OCD=∠DFC,
∴tan∠OCD=tan∠DFC=,故③正确;
∵△EBC≌△FCD,
∴S△EBC=S△FCD,
∴S△EBC-S△FOC=S△FCD-S△FOC,
即S△ODC=S四边形BEOF.故④正确;
故答案为:①③④.
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【题目】如图,用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面,观察下列图形并解答问题.
(1)在第a个图中,共有 块白瓷砖和 块黑瓷砖(用含a的代数式表示);
(2)若按上图的方式铺一块长方形地面共用了420块瓷砖,求此时a的值;
(3)已知白瓷砖每块6元,黑瓷砖每块8元,某工厂按如图方式铺设厂房地面,其中黑瓷砖的费用比白瓷砖的费用多924元,问白瓷砖和黑瓷砖各用了多少块?
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【题目】如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m),现在已备足可以砌50m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园的面积为300m2.
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【题目】如图,一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C,D两点,坐标轴交于A、B两点,连结OC,OD(O是坐标原点).
(1)利用图中条件,求反比例函数的解析式和m的值;
(2)双曲线上是否存在一点P,使得△POC和△POD的面积相等?若存在,给出证明并求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】问题背景:
如图①,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究线段AC,BC,CD之间的数量关系.
小吴同学探究此问题的思路是:将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处,点B,C分别落在点A,E处(如图②),易证点C,A,E在同一条直线上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,从而得出结论:AC+BC=CD.
简单应用:
(1)在图①中,若AC=2,BC=4,则CD= .
(2)如图③,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙上,弧AD=弧BD,若AB=13,BC=12,求CD的长.
拓展规律:
(3)如图4,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点P为AB的中点,若点E满足AE=AC,CE=CA,且点E在直线AC的左侧时,点Q为AE的中点,则线段PQ与AC的数量关系是 .
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【题目】某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件;如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元,每个月的销售量为y件.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)设每月的销售利润为W,请直接写出W与x的函数关系式;
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
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