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【题目】如图,在△ABC中,ABACAB⊙O的直径,⊙OBC交于点D⊙OAC交于点EDFACF,连接DE

1)求证:DBC中点;

2)求证:DF⊙O相切;

3)若⊙O的半径为5tanC,则DE   

【答案】(1)证明见解析(2)相切(3)6

【解析】

1)连接AD,根据圆周角定理得到∠ADB90°,根据等腰三角形的性质即可得到结论;

2)连接OD,根据平行线的性质得到∠DFC=∠ODF,根据切线的判定定理即可得到结论;

3)根据平行线的性质和圆内接四边形的性质得到∠B=∠EDO,根据余角的性质得到∠EDF=∠CDF,得到DECD,解直角三角形即可得到结论.

1)证明:连接AD

AB是⊙O的直径,

∴∠ADB90°,

ADBC

ABAC

DBC中点;

2)连接OD

AOBOBDCD

ODAC

∴∠DFC=∠ODF

DFAC

∴∠ODF90°,

ODDF

DF与⊙O相切;

3)∵ODDFDFAC

ACOD

∴∠AED+ODE180°,

∵∠AED+B180°,

∴∠B=∠EDO

∵∠EDF+EDO=∠CDF+ODB90°,

∴∠EDF=∠CDF

DECD

∵⊙O的半径为5tanC

AB10BD6

DECDBD6

故答案为:6

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