Question

【题目】问题探究：

（1）如图①，已知等边△ABC，边长为4，则△ABC的外接圆的半径长为　 　．

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，对角线BD与边BC的夹角为30°，点E在为边BC上且BE＝BC，点P是对角线BD上的一个动点，连接PE，PC，求△PEC周长的最小值．

问题解决：

（3）为了迎接新年的到来，西安城墙举办了迎新年大型灯光秀表演．其中一个镭射灯距城墙30米，镭射灯发出的两根彩色光线夹角为60°，如图③，若将两根光线（AB，AC）和光线与城墙的两交点的连接的线段（BC）看作一个三角形，记为△ABC，那么该三角形周长有没有最小值？若有，求出最小值，若没有，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）△ABC的周长最小值为60 ．

【解析】

（1）作△ABC外接圆，作直径AD，连接BD，根据等边三角形性质求出∠C＝60°，根据圆周角定理求出∠D＝∠C＝60°，解直角三角形求出AD即可．

（2）△PEC周长的最小实质是PE+PC，转化为将军饮马模型求出P点，然后利用勾股定理即可求出E′C即可解答，

（3）先由定角定高可知BC的最小值为三角形是等腰三角形AB＝AC时，BC最小，而求AB+AC，可以先将A点沿BC方向平移BC，构造平行四边形将AB转化为长，则AB+AC最小转化为AC+CD最小，作A点对称点A′，连接A′D，与BC交点与C重合，此时BC、AB+AC同时取最小值，即可知三角形周长有没有最小值．

解：（1）如图，作三角形外接圆⊙O，作直径AD，连接BD，

∵等边△ABC内接于⊙O，AD为直径，

∴∠C＝60°＝∠D，∠ABD＝90°，

∵sin∠D＝，

∴AD＝

∴⊙0的半径是．

故答案为；

（2）如图2，作点E关于BD的对称点E′，连接E′C交BD于P，连接PE，此时△PEC周长周长最小．

连接BE′，过E′作E′H⊥BC，

∵∠DBC＝30°，AB＝CD＝4，

∴BC＝4，

又∵BE＝BC．

∴BE＝

∵点E′是关于BD的对称点E

∴∠EBH＝60°，BE′＝BE＝，

∴BH＝，E′H＝，

∴HC＝，

∴E′C＝

∵△PEC周长＝PC+PE+EC＝PE′+EC＝

（3）如图3，∵∠BAC＝60°，AH＝30米，

∴当AB＝AC时，边BC取最小值，

∴此时BC＝AC＝20，

作ABCD，作A点关于直线BC的对称点A′，连接A′D，AB+AC＝CD+A′C，

当A′，C，D在一条直线上时，AB+AC最小，

此时，△ABC应为等边三角形，AB+AC＝

∵AB+AC和BC的最小值能够同时取到，

故△ABC的周长最小值为．