Question

【题目】如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(1，t+1)，B(t-5，-1)两点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)若点(c，p)和(n，q)是反比例函数y＝图象上任意两点，且满足c＝n+1时，求的值．

(3)若点M(x1，y1)和N(x2，y2)在直线AB(不与A、B重合)上，过M、N两点分别作y轴的平行线交双曲线于E、F，已知x1＜-3，0＜x2＜1，当x1x2＝-3时，判断四边形NFEM的形状．并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）反比例函数的解析式为y＝，一次函数解析式为y＝x+2；（2）；（3）四边形MNFE为平行四边形，理由见解析

【解析】

（1）根据反比例函数的定义，求出t的值，然后得到点A和点B的坐标，利用待定系数法进行求解，即可得到答案；

（2）根据反比例函数的定义，表示出c和n的值，由c＝n+1，代入计算，即可得到答案；

（3）先由点的坐标，得到ME和NF的长度，利用作差法证明两条线段相等，然后根据一组对边平行且相等即可证明是平行四边形.

解：（1）∵A(1，t+1)，B(t﹣5，﹣1)两点在反比例函数y＝的图象上，

∴t+1＝﹣(t﹣5)＝m，

即t+1＝5﹣t，

解得t＝2．

当t＝2时，A(1，3)，B(﹣3，﹣1)，

∴m＝3，

∴反比例函数的解析式为：y＝．

∵A、B在一次函数y＝kx+b的图象上，

∴，解得：，

∴一次函数的解析式为：y＝x+2；

（2）∵点(c，p)和(n，q)在反比例函数y＝图象上，

∴cp＝nq＝m＝3

c=，n=

∵c＝n+1，

∴，

∴；

（3）四边形MNFE为平行四边形，

由题意可知，M(x1，x1+2)，N(x2，x2+2)，E(x1，)，F(x2，)，

即ME＝x1+2﹣，NF＝x2+2﹣，

∵ME﹣NF=(x1+2﹣)－(x2+2﹣)

即ME﹣NF=(x1﹣x2)(1+)

∵x1＜﹣3，0＜x2＜1，

∴x1﹣x2≠0，

∵x1x2＝﹣3

∴1+＝0，

∴ME﹣NF＝0，

即ME＝NF

又∵ME∥NF，

∴四边形MNFE为平行四边形