Question

【题目】如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．

（1）求一次函数、反比例函数的解析式；

（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+1， y＝；（2）反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．

【解析】

（1）由AC＝BC，且OC⊥AB，利用等腰三角形三线合一得到O为AB中点，求出OB的长，确定出B坐标，从而得到P点坐标，将P与A坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，确定出一次函数解析式，将P坐标代入反比例函数的解析式求出m的值，即可确定出反比例函数的解析式；

（2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，根据菱形的性质得出D点的坐标．

解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），

∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，

∴P（4，2），B（4，0），

将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：

，解得

∴一次函数解析式为y＝x+1，

将P（4，2）代入反比例解析式得：，即反比例解析式为y＝；

（2）反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，理由如下：

假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，连接DC与PB交于E，

∵四边形BCPD为菱形，

∴CE＝DE＝4，

∴CD＝8，

将x＝8代入反比例函数y＝得y＝1，

∴D点的坐标为（8，1）

∴则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．