Question

7．已知P是△ABC内任意一点．
（1）如图1，求证：AB+AC＞PB+PC；
（2）如图2，连接PA，比较AB+AC+BC与PA+PB+PC的大小关系．

Answer 1

分析 （1）延长BP，交AC于D．在△ABD中，根据三角形两边之和大于第三边可得AB+AD＞BP+PD，同理在△PCD中，可得PD+DC＞PC，再根据不等式的性质得到AB+AD+PD+PC＞BP+PD+PC，进而即可证明AB+AC＞PB+PC；
（2）在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论；

解答 解：（1）证明：如图，延长BP，交AC于D．
在△ABD中，AB+AD＞BP+PD，
在△PCD中，PD+DC＞PC，
所以AB+AD+PD+DC＞BP+PD+PC，
即AB+AC＞PB+PC；

（2）PA+PB+PC＞$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）．
理由：如图所示，在△ABP中，AP+BP＞AB．
同理：BP+PC＞BC，AP+PC＞AC．
以上三式分别相加得到：
2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，
即PA+PB+PC＞$\frac{1}{2}$（AB+BC+AC）．

点评 本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键．