如图.在梯形ABCD中.AD∥BC.AD=6cm.CD=4cm.BC=BD=10cm.点P由B出发沿BD方向匀速运动.速度为1cm/s,同时.线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动.速度为1cm/s.交BD于Q.连接PE．若设运动时间为t．解答下列问题: (1)当t为何值时.PE∥AB, (2)设△PEQ的面积为y(cm2).求y与t之间的函数关系式, (3)是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，CD=4cm，BC=BD=10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PE∥AB；

（2）设△PEQ的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S_△_PEQ=S_△_BCD？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．

考点：平行线的判定；根据实际问题列二次函数关系式；三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

专题：压轴题．

分析：（1）若要PE∥AB，则应有，故用t表示DE和DP后，代入上式求得t的值；

（2）过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N．由题意知，四边形CDEF是平行四边形，可证得△DEQ∽△BCD，得到，求得EQ的值，再由△PNQ∽△BMD，得到，求得PN的值，利用S_△_PEQ=EQ•PN得到y与t之间的函数关系式；

（3）利用S_△_PEQ=S_△_BCD建立方程，求得t的值；

（4）易得△PDE≌△FBP，故有S_五边形_PFCDE=S_△_PDE+S_四边形_PFCD=S_△_FBP+S_四边形_PFCD=S_△_BCD，即五边形的面积不变．

解答：解：（1）当PE∥AB时，

∴．

而DE=t，DP=10﹣t，

∴，

∴当（s），PE∥AB．

（2）∵线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，

∴EF平行且等于CD，

∴四边形CDEF是平行四边形．

∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．

∵BC=BD=10，

∴△DEQ∽△BCD．

∴．

．

∴．

过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N，

∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，

∴CM=CD=2cm，

∴cm，

∵EF∥CD，

∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD，

又∵BD=BC，

∴∠BDC=∠BCD，

∴∠BQF=∠BFG，

∵ED∥BC，

∴∠DEQ=∠QFB，

又∵∠EQD=∠BQF，

∴∠DEQ=∠DQE，

∴DE=DQ，

∴ED=DQ=BP=t，

∴PQ=10﹣2t．

又∵△PNQ∽△BMD，

∴．

∴S_△_PEQ=EQ•PN=××．

（3）S_△_BCD=CD•BM=×4×4=8，

若S_△_PEQ=S_△_BCD，

则有﹣t²+t=×8，

解得t₁=1，t₂=4．

（4）在△PDE和△FBP中，

∵DE=BP=t，PD=BF=10﹣t，∠PDE=∠FBP，

∴△PDE≌△FBP（SAS）．

∴S_五边形_PFCDE=S_△_PDE+S_四边形_PFCD=S_△_FBP+S_四边形_PFCD=S_△_BCD=8．

∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．

点评：本题利用了平行线的性质，相似三角形和全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式求解．综合性较强，难度较大．

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