Question

20．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（0，2），（-1，0），（2，1）．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）设点D与A，B，C点构成平行四边形，直接写出所有符合条件的点D的坐标．
（3）在y轴上有一动点Q，直线AB上有一动点P，求能使得A，C，P，Q构成平行四边形时点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）由A、B的坐标利用待定系数法可求得直线AB的函数表达式；
（2）分AB为边和AB为对角线两种情况，当AB为边时，则CD∥AB且CD=AB，过C作y轴的平行线，过D作x轴的平行线，两线交于点E，则可证明△AOB≌△CED，可求得CE、DE的长，则可求得D点坐标；当AB为对角线时，设AB的中点为F，可求得F的坐标，则F也为CD的中点，则可求得D点坐标；
（3）可设出点Q坐标为（0，t），分AC为边和AC为对角线两种情况，当AC为边时，过点C作CM⊥y轴于点M，过点P作PN⊥y轴于点N，则可证明△ACM≌△PQN，则可求得PN、QN的长，可求得Q点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为H，可求得H点的坐标，则H也为PQ的中点，则可用t表示出P点坐标，代入直线AB的解析式，可求得t的值，则可求得Q点坐标．

解答 解：
（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的函数表达式为y=2x+2；
（2）∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，
∴分AB为边和AB为对角线两种情况，
①当AB为边时，
当点D在x轴上方时，如图1，过C作y轴的平行线，过D作x轴的平行线，两线交于点E，

则AB∥CD，且AB=CD，且CE∥OA，
∴∠BAC=∠DAC，∠OAC=∠ACE，
∴∠BAO=∠ECD，
在△AOB和△CED中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CED}\\{∠BAO=∠ECD}\\{AB=CD}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△CED（AAS），
∴EC=AO=2，DE=OB=1，
∵C（1，2），
∴D（3，3）；
当点D在x轴下方时，如图2，

同上可知DE=1，CE=2，
∴D（1，-1）；
②当AB为对角线时，设AB的中点为E，如图3，

∵A（0，2），B（-1，0），
∴E（-$\frac{1}{2}$，1），
∵C（2，1），
∴D（-3，1）；
综上可知点D的坐标为（3，3）或（1，-1）或（-3，1）；
（3）①当AC为边时，如图4，过点C作CM⊥y轴于点M，过点P作PN⊥y轴于点N，

同（2）可证得△ACM≌△QPN，
∴PN=MC=2，NQ=AM=1，
∴P点的横坐标为2或-2，
当P点横坐标为2时，代入y=2x+2可求得y=6，此时Q点坐标为（0，7），
当P点横坐标为-2时，代入y=2x+2可求得y=-2，此时Q点坐标为（0，-3）；
②当AC为对角线时，如图5，设AC的中点为H，

∵A（0，2），C（2，1），
∴H（1，$\frac{3}{2}$），
设Q（0，t），则P（2，3-t），
∵P点在直线AB上，
∴3-t=2×2+2，解得t=-3，
∴Q（0，-3）；
综上可知点Q的坐标为（0，7）或（0，-3）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、中点坐标公式、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）（3）中确定出所求点的位置是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．