Question

已知二次函数的图象与x轴的两个交点间的距离为1，若将此函数的图象向上平移1个单位，则它与x轴仅有一个公共点；若将它向下平移1个单位，则它经过原点，求此二次函数的解析式．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：

分析：设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，先利用根与系数的关系以及抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点间的距离为1，得出a，b关系的等式，进而利用顶点的纵坐标得出a，b的等式求出即可，进而得出a，b，c的值．

解答：解：设所求二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
∵y=ax²+bx+c与x轴的两个交点间的距离为1，设两交点为：（x₁，0），（x₂，0），
∴|x₁-x₂|=1，
∴（x₁-x₂）²=1，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1，
∴（-

b

a

）²-4×

c

a

=1①，
∵将抛物线y=ax²+bx+c向上平移一个单位，则它与x轴只有一个公共点；
∴

4ac-b2

4a

=-1，
∵将抛物线y=ax²+bx+c向下平移一个单位，则它经过原点，
∴c=1②，
∴

4a-b2

4a

=-1，
∴8a=b²③，
把②、③代入①，得
∴

8a

a2

-4×

1

a

=1，
解得：a=4，
∴

4×4-b2

4×4

=-1，
解得：b=±4

2

，
故此二次函数的解析式为y=4x²+4

2

x+1或y=4x²-4

2

x+1．

点评：此题主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线的性质，二次函数与x轴交点以及根与系数的关系，得出a，c的值是解题的关键．