Question

【题目】如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，与边AC交于E点，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于M点．

（1）求证：点M是CF的中点；

（2）若E是的中点，BC＝a，

①求的弧长；

②求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①πa；②＝1．

【解析】

（1）由切线的性质可得∠ACB＝∠ODB＝90°，由平行线的性质可得OM⊥CF，由垂径定理可得结论；

（2）①由题意可证△BCD是等边三角形，可得∠B＝60°，由直角三角形的性质可得AB＝2a，AC＝a，AD＝a，通过证明△ADO∽△ACB，可得，可求DO的长，由弧长公式可求解；

②由直角三角形的性质可求AO＝a，可得AE的长，即可求解．

证明：（1）∵⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，

∴∠ACB＝∠ODB＝90°，

∵CF∥AB，

∴∠OMF＝∠ODB＝90°，

∴OM⊥CF，且OM过圆心O，

∴点M是CF的中点；

（2）①连接CD，DF，OF，

∵⊙O与△ABC的边BC，AB分别相切于C，D两点，

∴BD＝BC，

∵E是的中点，

∴，

∴∠DCE＝∠FCE，

∵AB∥CF，

∴∠A＝∠ECF＝∠ACD，

∴AD＝CD，

∵∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，

∴∠B＝∠BCD，

∴BD＝CD，且BD＝BC，

∴BD＝BC＝CD，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∴∠A＝30°＝∠ECF＝∠ACD，

∴∠DCF＝60°，

∴∠DOF＝120°，

∵BC＝a，∠A＝30°，

∴AB＝2a，AC＝a，

∴AD＝a，

∵∠A＝∠A，∠ADO＝∠ACB＝90°，

∴△ADO∽△ACB，

∴，

∴

∴DO＝a，

∴的弧长＝＝πa；

②∵∠A＝30°，OD⊥AB，

∴AO＝2DO＝a，

∴AE＝AO﹣OE＝﹣a＝a，

∴＝1．