Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，，AE交BC于点P，交DC的延长线于点E，点P为AE的中点.

（1）求证：点P也是BC的中点.

（2）若，且，求AP的长.

（3）在（2）的条件下，若线段AE上有一点Q，使得是等腰三角形，求的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）5；（3）4或或.

【解析】

（1）由，得∠B=∠ECP，由点P为AE的中点，得AP=EP，根据AAS可证CEPBAP，进而得到结论；

（2）在RtDCP中，利用勾股定理，可得CP的长，即BP的长，从而在RtABP中，利用勾股定理，即可求解；

（3）若是等腰三角形，分3种情况讨论：①当AQ=AB时，②当BQ=AB时，③当AQ=BQ时，分别根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AQ的值即可.

（1）∵，

∴∠B=∠ECP，

∵点P为AE的中点，

∴AP=EP，

在CEP和BAP中，

∵（对顶角相等）

∴CEPBAP（AAS）

∴BP=CP，

∴点P也是BC的中点；

（2）∵，

∴，

∴，

∴BP=CP=3，

∴在RtABP中，

（3）若是等腰三角形，分3种情况讨论：

①当AQ=AB时，如图1，

∵AB=4，

∴AQ=4；

②当BQ=AB时，如图2，

过段B作BM⊥AE于点M，

∵在RtABP中，AB=4，BP=3，AP=5，

∴BM=，

∵在RtABM中，，

∴，

∵BQ=AB，BM⊥AE，

∴MQ=AM=，

∴AQ=2×=，

③当AQ=BQ时，

∴∠QAB=∠QBA，

∵，

∴∠QAB+∠QPB=90°，∠QBA+∠QBP=90°，

∴∠QPB=∠QBP，

∴BQ=PQ，

∴AQ= BQ=PQ=AP=×5=；

综上所述，AQ的长为：4或或.