Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）证明：BE=CF；
（2）如果AB=12，AC=8，求AE的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：（1）连接DB、DC，证明Rt△BDE≌Rt△CFD即可得出结论；
（2）由（1）可得出CF=BE，且AE=AF=AC+CF，而CF=BE=AB-AE，代入可求得结果．

解答：（1）证明：连接DB、DC，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵DG⊥BC且平分BC于点G，
∴DB=DC，
在Rt△BDE和Rt△CFD中，

DE=DF BD=CD

，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF；
（2）解：由（1）知BE=CF，
且在△ADE和△ADF中

∠EAD=FAD ∠DEA=∠DFA AD=AD

∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF=AC+CF，
而CF=BE=AB-AE，
∴AE=AC+AB-AE，
∴2AE=AC+AB=8+12=20，
∴AE=10．

点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．