Question

【题目】如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF.

（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；

（2）若半圆O的半径为12，求涂色部分的周长.

Answer 1

【答案】（1）相切，理由见解析；（2）.

【解析】

（1）结论：DE是⊙O的切线．首先证明△ABO，△BCO都是等边三角形，再证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；

（2）求出EC、EF、弧长CF即可解决问题．

(1)结论：DE是⊙O的切线，

理由：∵四边形OABC是平行四边形，

又∵OA=OC，

∴四边形OABC是菱形，

∴OA=OB=AB=OC=BC，

∴△ABO，△BCO都是等边三角形，

∴∠AOB=∠BOC=∠COF=60°，

∵OB=OF，

∴OG⊥BF,

∵AF是直径，CD⊥AD，

∴∠ABF=∠DBG=∠D=∠BGC=90°，

∴四边形BDCG是矩形，

∴∠OCD=90°，

∴DE是⊙O的切线.

(2)在Rt△OCE中,∵OC=12,∠COE=60°,∠OCE=90°，

∴OE=2OC=24,EC=12，

∵OF=12，

∴EF=12，

∴弧CF的长==4π，

∴阴影部分的周长为4π+12+12.