Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE=CF，对角线AC平分∠ECF．

（1）求证：四边形AECF为菱形．

（2）已知AB=4，BC=8，求菱形AECF的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）S菱形AECF= 20．

【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质可得：OA=OC，EF⊥AC，即可证得AF=CF，又由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，可得OE=OF，继而可证得四边形AECF是菱形；
（2）首先设CE=x，则AE=x，be=8-x，然后由勾股定理求得（8-x）2+42=x2，继而求得答案．

试题解析：

（1）证明：由矩形可得：OA=OC，EF⊥AC，

∴AF=CF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠FAC=∠ECA，

在△AOF和△COE中，

，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AF=CF，

∴四边形AECF是菱形；

（2）设CE=x，则AE=x，be=8﹣x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴BE2+AB2=AE2，

∴（8﹣x）2+42=x2，

解得：x=5，即EC=5，

∴S菱形AECF=ECAB=5×4=20．