Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①△ABE≌△ADH；②HE=CE；③H是BF的中点；④AB=HF；其中正确的有(　　 )

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

由四边形ABCD是矩形，∠BAD的平分线交BC于点E，得出AD=BC，∠ABE=∠ADC=90°，∠BAE=∠DAE=45°，则△ABE是等腰直角三角形，得出∠BEH=45°，AE= AB，推出AE=AD=BC，由AAS证得△ABE≌△AHD，故①正确；
由△ABE≌△AHD，得出∠HDA=45°，AB=BE=DH=AH，则∠HDF=45°，AE-AH=BC-BE，推出∠BEH=∠HDF，HE=CE，故②正确；
由AB=AH，得出∠ABH=∠AHB=∠FHE=(180°-∠BAE)=67.5°，则∠EBH=∠ABE-∠ABH=22.5°，∠DHF=∠DHE-∠FHE=22.5°，推出∠EBH=∠DHF，由ASA证得△EBH≌△DHF，得出BH=HF，即H是BF的中点，故③正确；
由AB=AH，∠BAH=45°，得出△ABH不是等边三角形，则AB≠BH，推出AB≠HF，故④错误．

∵四边形ABCD是矩形，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AD=BC，∠ABE=∠ADC=90°，∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BEH=45°，AE= AB，

∵AD= AB，

∴AE=AD=BC，
在△ABE和△AHD中，

，
∴△ABE≌△AHD(AAS)，故①正确；
∵△ABE≌△AHD，
∴∠HDA=45°，AB=BE=DH=AH，
∴∠HDF=45°，AE-AH=BC-BE，
∴∠BEH=∠HDF，HE=CE，故②正确；
∵AB=AH，
∴∠ABH=∠AHB=∠FHE=(180°-∠BAE)=(180°-45°)=67.5°，
∴∠EBH=∠ABE-∠ABH=90°-67.5°=22.5°，∠DHF=∠DHE-∠FHE=90°-67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠DHF，
在△EBH和△DHF中，

，
∴△EBH≌△DHF(ASA)，
∴BH=HF，
∴H是BF的中点，故③正确；
∵AB=AH，∠BAH=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴AB≠HF，故④错误；
综上所述，正确的命题为①②③，
故选：C．