Question

【题目】如图，点A是直线y＝﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB＝2，则△AOB面积的最大值为_____．

Answer 1

【答案】+1

【解析】

如图，作△AOB的外接圆⊙C，连接CB，CA，CO，过C作CD⊥AB于D，则CA＝CB，连接OD，则OD≤OC+CD，依据当O，C，D在同一直线上时，OD的最大值为OC+CD，即可得到△AOB的面积最大值．

解：如图所示，作△AOB的外接圆⊙C，连接CB，CA，CO，过C作CD⊥AB于D，则CA＝CB，

由题意可得∠AOB＝45°，∴∠ACB＝90°，

∴CD＝AB＝1，AC＝BC＝＝CO，

连接OD，则OD≤OC+CD，

∴当O，C，D在同一直线上时，OD的最大值为OC+CD＝+1，此时OD⊥AB，

∴△AOB的面积最大值为AB×OD＝×2（+1）＝+1，

当点A在第二象限内，点B在x轴正半轴上时，同理可得，△AOB面积的最大值为﹣1（舍去）．

故答案为：+1．