Question

【题目】如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上，BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．

（1）用两种不同的方法表示出长方形ACDF的面积S，并探求a，b，c之间的等量关系（需要化简）

（2）请运用（1）中得到的结论，解决下列问题：

①求当c＝5，a＝3时，求S的值；

②当c﹣b＝8，a＝12时，求S的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①28；②85．

【解析】

（1）方法一，根据矩形的面积公式就可以直接表示出S；方法二，根据矩形的面积等于四个三角形的面积之和求出结论即可，根据方法一与方法二的S相等建立等式就可以得到a，b，c之间的等量关系；

（2）①先由（1）的结论求出b的值，然后代入S＝ab+b2求解即可；②由a2＝c2b2＝（c＋b）（cb）先求得c＋b的值，然后可求得b的值，然后代入S＝ab+b2求解即可．

解：（1）由题意，得

方法一：S1＝b（a+b）＝ab+b2；

方法二：S2＝ab+ab+（b﹣a）（b+a）+c2＝ab+b2﹣a2+c2；

∵S1＝S2，

∴ab+b2＝ab+b2﹣a2+c2，

∴2ab+2b2＝2ab+b2﹣a2+c2，

∴a2+b2＝c2；

（2）∵a2+b2＝c2．且c＝5，a＝3，

∴b＝4，

∴S＝ab+b2＝3×4+16＝28．

②∵a2+b2＝c2，

∴a2＝c2﹣b2＝（c+b）（c﹣b）．

又∵c﹣b＝8，a＝12，

∴c+b＝18，

∴b＝5，

∴S＝ab+b2＝12×5+52＝85．