Question

在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列四个结论：①AE∥BC；②∠ADE=∠BDC；③△BDE是等边三角形；④△AED的周长是9．其中正确的结论是

 

（把你认为正确结论的序号都填上．）

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的判定与性质

专题：常规题型

分析：先根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，所以∠BAE=∠ABC=60°，则根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC＞60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，所以△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD．

解答：解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE=∠BCD=60°，∠BCD=∠BAE=60°，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE∥BC，所以①正确；
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BD=BE，∠DBE=60°，
∴△BDE是等边三角形，所以③正确；
∴∠BDE=60°，
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°，
∴∠ADE≠∠BDC，所以②错误；
∵△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=4，
而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴AE=CD，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9，所以④正确．
故答案为①③④．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．