Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，经过点C的⊙O与直线AB相切于点D，与AC交于E，⊙O的半径为1，当CD平分∠ACB时，求CE的长是多少．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：首先连接OD，OC，作OH⊥CE于H，进而得出∠ODC=15°，即可得出∠HCO=30°，再利用锐角三角函数关系求出答案．

解答：解：如图所示：
连接OD，OC，作OH⊥CE于H，
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD=45°，
又∵∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴∠ADC=105°，
∵经过点C的圆O与直线AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴∠ODA=90°，
∴∠ODC=15°，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC=15°，
∴∠HCO=30°，
∵OC=1，OH⊥HC，
∴CH=COcos30°=

3

2

，
∴CE=2CH=

3

．

点评：此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和角平分线的定义等知识，得出∠HCO=30°是解题关键．