Question

已知，如图四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
（1）若S_△DAB=S_△CAB，求证：OD：DB=CO：CA；
（2）若DC∥AB，求证：OB：DB=AO：CA．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）过点C、D作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，根据平行于同一直线的两直线互相平行得出CE∥DF．由S_△DAB=S_△CAB，根据三角形的面积公式得出CE=DF，于是四边形CDFE是平行四边形，那么EF∥CD，即AB∥CD，根据相似三角形的判定得到△OAB∽△OCD，由相似三角形对应边成比例得出

OB

OD

=

AO

CO

，然后利用比例的性质即可证明OD：DB=CO：CA；
（2）由DC∥AB，得出△OCD∽OAB，由相似三角形对应边成比例得出

OD

OB

=

CO

AO

，然后利用比例的性质即可证明OB：DB=AO：CA．

解答：证明：（1）过点C、D作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则CE∥DF．
∵S_△DAB=S_△CAB，
∴

1

2

AB•CE=

1

2

AB•DF，
∴CE=DF，
∵CE∥DF，
∴四边形CDFE是平行四边形，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
∴

OB

OD

=

AO

CO

，
∴

OB

OD

+

OD

OD

=

AO

CO

+

CO

CO

，
∴

DB

OD

=

CA

CO

，
∴OD：DB=CO：CA；

（2）∵DC∥AB，
∴△OCD∽OAB，
∴

OD

OB

=

CO

AO

，
∴

OD

OB

+

OB

OB

=

CO

AO

+

AO

AO

，
∴

DB

OB

=

CA

AO

，
∴OB：DB=AO：CA．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，比例的性质，难度适中．利用数形结合是解题的关键．