Question

12．如图，AB⊥MN于A，CD⊥MN于D．点P是MN上一个动点．
（1）如图①．BP平分∠ABC，CP平分∠BCD交BP于点P．若AB=4，CD=6．试求AD的长；
（2）如图②，∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，若AB=4，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）过点P作PE⊥BC于E，过点B作BF⊥CD于F，利用角平分线性质定理可得AP=PE，再由全等三角形的判定方法可知Rt△ABP≌Rt△EBP，同理可证Rt△CEP≌Rt△CDP，进而可得AB=BE，CE=CD，即BC=10，易证四边形ABFD是矩形，所以BF=AD，利用勾股定理求出BF的长即可；
（2）如图2，延长CB和PA，记交点为点Q．根据等腰△QPC“三合一”的性质证得QB=BC；由相似三角形（△QAB∽△QDC）的对应边成比例得到，则CD=2AB，问题得解；

解答 解：（1）过点P作PE⊥BC于E，过点B作BF⊥CD于F，
∵AB⊥MN于A，CD⊥MN于D，BP平分∠ABC，
∴AP=PE，
在Rt△ABP和Rt△EBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=EP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABP≌Rt△EBP，
∴AB=BE=4，
同理可得CE=CD=6，
∴BC=BE+CE=10，
易证四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD，CF=6-4=2，
∴AD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=4$\sqrt{6}$；

（2）延长CB和PA，记交点为点Q．
∵∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，
∴QB=BC（等腰三角形“三合一”的性质）．
∵BA⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD，
∴△QAB∽△QDC，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{QB}{QC}=\frac{1}{2}$，
∴CD=2AB=2×4=8．

点评 本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形．