Question

4．如图，直线l：y=kx-2k交坐标轴于A，B两点，点P（m，n）为直线l上的一点，且满足关系式2m²+2n²-4m+8n+10=0．
（1）求m、n、k的值；
（2）点Q为双曲线y=$\frac{10}{x}$（x＞0）上一点，且∠APQ=45°，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）方程整理后得（m-1）²+（n+2）²=0，即可求得m=1，n=-2，得出P的坐标，代入y=kx-2k即可求得k的值；
（2）作BC⊥AB，交CQ于C，作CD⊥y轴于D，由直线l：y=2x-4可知：A（2，0），B（0，-4），根据勾股定理求得AB=2$\sqrt{5}$，PB=$\sqrt{5}$，从而求得sin∠ABO=sin∠BCD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠ABO=cos∠BCD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，进而求得C的坐标，然后利用待定系数法求得直线PQ的解析式，然后与反比例函数的解析式联立方程即可求得Q的坐标．

解答 解：（1）方程2m²+2n²-4m+8n+10=0整理得：
（m-1）²+（n+2）²=0，
∴m=1，n=-2，
∴P（1，-2），
∵点P（m，n）为直线l上的一点，
∴-2=k-2k，解得k=2；

（2）由直线l：y=2x-4可知：A（2，0），B（0，-4），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴sin∠ABO=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠ABO=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
作BC⊥AB，交CQ于C，作CD⊥y轴于D，
∵∠BCD=∠ABO，
∴sin∠BCD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠BCD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵PB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，∠BPC=∠APQ=45°，
∴BC=PB=$\sqrt{5}$，
∴sin∠BCD=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠BCD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BD=1，CD=2，
∴C（-2，-3），
设直线PQ的解析式为y=ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-2}\\{-2a+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线PQ的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{7}{3}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}}\\{y=\frac{10}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=10}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=-\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∵x＞0，
∴Q（10，1）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，同时考查了利用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，锐角三角函数的定义，本题有一定难度．准确作出辅助线利用数形结合是解决（2）的关键．