Question

3．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）图象上的一个动点，若以点P为圆心，3为半径的圆与直线y=x相交，交点为A、B，当弦AB的长等于2$\sqrt{5}$时，点P的坐标为（　　）

• A． （1，6）和（6，1）
• B． （2，3）和（3，2）
• C． （$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$）和（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）和（2$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 当点P在直线y=x上方时，作PH⊥AB，利用垂径定理可得AH=$\sqrt{5}$，由勾股定理易得PH，作PM⊥x轴交直线AB于点C，由PH可得CP，设OM=a，则CM=a，易得，P（a，a$+2\sqrt{2}$），因为P点在反比例函数图象上，所以易得a（a$+2\sqrt{2}$）=6，可得a，易得P点的坐标，当点P在直线y=x下方时，利用对称性可得P点的另一坐标．

解答 解：当点P在直线y=x上方时，连接PA，作PH⊥AB，
∴AH=$\sqrt{5}$，而PA=3
∴PH=2．
作PM⊥x轴交直线AB于点C，
设OM=a，则CM=a，而PC=2$\sqrt{2}$，∴P（a，a$+2\sqrt{2}$），
∴a（a$+2\sqrt{2}$）=6，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴P（$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$），
当点P在直线y=x下方时，由对称性可知P（3$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
故选C．

点评 本题主要考查了垂径定理，反比例函数与一次函数的交点，作出恰当的辅助线，利用勾股定理和垂径定理解得PC是解答此题的关键．