Question

13．通过配方，把下列函数化为y=a（x-h）²+k的形式，并指出函数的最大（或最小）值．
（1）y=-2x²-5x+9；（2）y=2x²+3x；
（3）y=$\frac{5}{2}$x²-4x+1；（4）y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{2}$x-2．

Answer 1

分析 利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质求出抛物线的最值．

解答 解：（1）y=-2x²-5x+9
y=-2（x²+$\frac{5}{2}$x）+9
y=-2（x²+$\frac{5}{2}$x+$\frac{25}{16}$-$\frac{25}{16}$）+9
y=-2（x+$\frac{5}{4}$）²+$\frac{25}{8}$+9
y=-2（x+$\frac{5}{4}$）²+$\frac{97}{8}$；
∵a=-2＜0，
∴函数有最大值$\frac{97}{8}$；
（2）y=2x²+3x；
y=2（x²+$\frac{3}{2}$x）
y=2（x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{16}$-$\frac{9}{16}$）
y=2（x+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{9}{8}$；
∵a=2＞0，
∴函数有最小值-$\frac{9}{8}$；
（3）y=$\frac{5}{2}$x²-4x+1；
y=$\frac{5}{2}$（x²-$\frac{8}{5}$x）+1
y=$\frac{5}{2}$（x²-$\frac{8}{5}$x+$\frac{16}{25}$-$\frac{16}{25}$）+1
y=$\frac{5}{2}$（x-$\frac{4}{5}$）²-$\frac{3}{5}$；
∵a=$\frac{5}{2}$＞0，
∴函数有最小值-$\frac{3}{5}$；
（4）y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{2}$x-2，
y=-$\frac{3}{4}$（x²-6x+9-9）-2
y=-$\frac{3}{4}$（x-3）²+$\frac{27}{4}$-2
y=-$\frac{3}{4}$（x-3）²+$\frac{19}{4}$；
∵a=-$\frac{3}{4}$＜0，
∴函数有最大值$\frac{19}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的性质及二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）²+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x₁）（x-x₂）．