Question

【题目】如图，以点O为端点按顺时针方向依次作射线OA、OB、OC、OD.

（1）若∠AOC、∠BOD都是直角，∠BOC＝60°，求∠AOB和∠DOC的度数.

（2）若∠BOD＝100°，∠AOC＝110°，且∠AOD＝∠BOC+70°，求∠COD的度数.

（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，当α为多少度时，∠AOD和∠BOC互余？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）∠AOB=30°，∠DOC=30°；（2）∠COD=30°；（3）当α=45°时，∠AOD与∠BOC互余．

【解析】

（1）根据互余的意义，即可求出答案；

（2）设出未知数，利用题目条件，表示出∠AOB、∠BOC，进而列方程求解即可；

（3）利用角度的和与差，反推得出结论，再利用互余得出答案．

（1）∵∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=60°，

∴∠AOB=∠AOC﹣∠BOC=90°﹣60°=30°，

∠DOC=∠BOD﹣∠BOC=90°﹣60°=30°；

（2）设∠COD=x°，则∠BOC=100°﹣x°．

∵∠AOC=110°，

∴∠AOB=110°﹣(100°﹣x°)=x°+10°．

∵∠AOD=∠BOC+70°，

∴100°+10°+x°=100°﹣x°+70°，

解得：x=30，

即∠COD=30°；

（3）当α=45°时，∠AOD与∠BOC互余．理由如下：

要使∠AOD与∠BOC互余，即∠AOD+∠BOC=90°，

∴∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC=90°，

即∠AOC+∠BOD=90°．

∵∠AOC=∠BOD=α，

∴∠AOC=∠BOD=45°，

即α=45°，

∴当α=45°时，∠AOD与∠BOC互余．