Question

已知，如图，在四边形ABCD中，OA、OB、OC、OD分别是∠A、∠B、∠C、∠D的平分线，求证：AB+CD=AD+BC．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过O分别作OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD，可证明△OAE≌△OAH，可得到AE=AH，同理可证明BE=BF，CF=CG，DG=DH，可得出结论．

解答：证明：
过O分别作OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD，
则∠AEO=∠AHO=90°，
∵OA平分∠BAD，
∴∠OAE=∠OAH，
在△OAE和△OAH中

∠OAE=∠OAH ∠OEA=∠OHA OA=OA

∴△OAE≌△OAH，
∴AE=AH，
同理可得BE=BF，CF=CG，DG=DH，
∴AB+CD=AD+BC．

点评：本题主要考查角平分线的定义和三角形全等的判定，根据角平分线构造三角形全等是解题的关键．