Question

已知二次函数y=x²+4x+c的图象的顶点P在一次函数y=3x+5的图象上．
（1）求顶点P的坐标．
（2）除点P外，这两个函数的图象是否还存在其他公共点？若存在，请求出它的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题

分析：（1）先利用配方法把y=x²+4x+c配成顶点式y=（x+2）²+c-4，则抛物线的顶点P的坐标为（-2，c-4），然后把（-2，c-4）代入y=3x+5可计算出c，从而得到P点坐标；
（2）根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题，通过解方程组

y=x2+4x+3 y=3x+5

来判断两函数的交点个数和交点坐标．

解答：解：（1）y=x²+4x+c=（x+2）²+c-4，
所以抛物线的顶点P的坐标为（-2，c-4），
把（-2，c-4）代入y=3x+5得-6+5=c-4，解得c=3，
所以顶点P的坐标为（-2，-1）；
（2）存在．
二次函数的解析式为y=x²+4x+3，
解方程组

y=x2+4x+3 y=3x+5

得

x=-2 y=-1

或

x=1 y=8

，
所以抛物线与一次函数图象除公共点P（-2，-1），还有一个公共点（1，8）．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．