Question

如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF=AE．
（1）如图1，过F点作FG⊥AC交AC于G点，求证：△AGF≌△ECA；
（2）如图2，连接BF交AC于D点，若

AD

CD

=3，求证：E点为BC中点；
（3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若

BC

BE

=

4

3

，则

AD

CD

=

 

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠CAE=∠F，即可证明△AGF≌△ECA，即可解题；
（2）过F点作FG⊥AC交AC于G点，根据（1）中结论可得FG=AC=BC，即可证明△FGD≌△BCD，可得DG=CD，根据

AD

CD

=3可证

AG

AC

=

1

2

，根据AG=CE，AC=BC，即可解题；
（3）过F作FG⊥AD的延长线交于点G，易证

AC

CE

=

4

7

，由（1）（2）可知△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，可得CD=DG，AG=CE，即可求得

AC

CD

的值，即可解题．

解答：证明：（1）∵∠FAG+∠CAE=90°，∠FAG+∠F=90°，
∴∠CAE=∠F，
在△AGF和△ECA中，

∠AGF=∠ECA ∠F=∠CAE AF=AE

，
∴△AGF≌△ECA（AAS）；
（2）过F点作FG⊥AC交AC于G点，

∵△AGF≌△ECA，
∴FG=AC=BC，
在△FGD和△BCD中，

∠FDG=∠CDB ∠FGD=∠C=90° FG=BC

，
∴△FGD≌△BCD（AAS），
∴DG=CD，
∵

AD

CD

=3，
∴

AG

CD

=2，
∴

AG

AC

=

1

2

，
∵AG=CE，AC=BC
∴

CE

BC

=

1

2

，
∴E点为BC中点；
（3）过F作FG⊥AD的延长线交于点G，如图3，
∵

BC

BE

=

4

3

，BC=AC，CE=CB+BE，
∴

AC

CE

=

4

7

，

由（1）（2）知：△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，
∴CD=DG，AG=CE，
∴

AC

AG

=

4

7

，
∴

AC

CG

=

4

3

，
∴

AC

1 2 AG

=

AC

CD

=

8

3

，
∴

AD

CD

=

11

3

．
故答案为

11

3

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AGF≌△ECA和△DGF≌△DCB是解题的关键．