Question

如图，在等边△ABC中，点D为AC上一点，CD=CE，∠ACE=60°．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）延长BD交AE于F，连接CF，若AF=CF，猜想线段BF、AF的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证BC=AC，∠BCD=60°，即可证明△BCD≌△ACE，即可解题；
（2）易证BD为等边△ABC中AC边上的高，根据等边三角形三线合一性质可得∠ABD=∠DBC=30°，根据△BCD≌△ACE，可得∠DBC=∠CAE，即可求得∠BAF=90°，根据30°角所对直角边是斜边一半的性质即可解题．

解答：证明：（1）∵△ABC是等边△，
∴BC=AC，∠BCD=60°，
在△BCD和△ACE中，

CD=CE ∠BCD=∠ACE BC=AC

．
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）BF=2AF，
理由：∵AF=CF，AB=BC，
∴BF⊥AC且平分AC，
∴BD为等边△ABC中AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠DBC=∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE=30°，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAE=90°，
∴在Rt△ABF中，BF=2AF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求证△BCD≌△ACE是解题的关键．