Question

【题目】已知:△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点(不与点B重合).

(1)如图1，当点D在线段BC上时，线段CE、BD之间的位置关系是__________，数量关系是___________；

(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，探索AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并证明；

(3)若BD=CD，直接写出∠BAD的度数。

Answer 1

【答案】（1）CE⊥BD,CE=BD.（2）2AD2=CE2+CE2.（3）当D点在线段BC上时，∠BAD=60°；当D点在BC延长线上时，∠BAD=120°.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据旋转性质可得AD=AE，∠DAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△BAD和△CEF全等，从而得证；

（2）将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．与（1）同理可得CE=BD，CE⊥BD，根据勾股定理即可求得2AD2=BD2+CD2；

（3）分两种情况分别讨论即可求得．

（1）如图1，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠DAE=90°，

∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，

∴BD⊥CE；

（2）2AD2=BD2+CD2，

理由：如图2，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE、DE．

与（1）同理可证CE=BD，CE⊥BD，

∵∠EAD=90°AE=AD，

∴ED=AD，

在RT△ECD中，ED2=CE2+CD2，

∴2AD2=BD2+CD2．

（3）如图3，①当D在BC边上时，将线段AD1绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AE，连接BE，

与（1）同理可证△ABE≌△ACD1，

∴BE=CD1，BE⊥BC，

∵BD=CD，

∴BD1=BE，

∴tan∠BD1E=，

∴∠BD1E=30°，

∵∠EAD1=∠EBD1=90°，

∴四边形A、D1、B、E四点共圆，

∴∠EAB=∠BD1E=30°，

∴∠BAD1=90°-30°=60°；

②当D在BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF，连接CF．

同理可证：∠CFD2=30°，

∵∠FAD2=∠FCD2=90°，

∴四边形A、F、D2、C四点共圆，

∴∠CAD2=∠CFD2=30°，

∴∠BAD2=90°+30°=120°，

综上，∠BAD的度数为60°或120°．