【题目】如图所示,已知△ABC中,AC=BC=6,∠C=90°.O是AB的中点,⊙O与AC相切于点D、与BC相切于点E.设⊙O交OB于F,连DF并延长交CB的延长线于G.
(1)∠BFG与∠BGF是否相等?为什么?
(2)求由DG、GE和所围成的图形的面积(阴影部分).
【答案】(1)∠BFG=∠BGF;理由见解析;(2)-.
【解析】
(1)连接OD,根据切线的性质可得出:OD∥GC,从而得出∠BGF=∠ODF.,由OD=OF得出∠ODF=∠OFD.然后利用等量代换可得∠BFG=∠BGF;(2)连接OE,根据阴影部分的面积=△DCG的面积-(正方形ODCE的面积 - 扇形ODE的面积)计算即可.
(1)∠BFG=∠BGF
连接OD,
∵ OD=OF(⊙O的半径),
∴ ∠ODF=∠OFD.
∵ ⊙O与AC相切于点D,
∴ OD⊥AC
又∵ ∠C=90°,即GC⊥AC,
∴ OD∥GC,
∴ ∠BGF=∠ODF.
又∵ ∠BFG=∠OFD,
∴ ∠BFG=∠BGF.
(2)如图所示,连接OE,则ODCE为正方形且边长为3.
∵ ∠BFG=∠BGF,
∴ BG=BF=OB-OF=,
从而CG=CB+BG=
∴ 阴影部分的面积=△DCG的面积-(正方形ODCE的面积 - 扇形ODE的面积)
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【题目】(阅读资料)
同学们,我们学过用配方法解一元二次方程,也可用配方法求代数式的最值.
(1)求4x2+16x+19的最小值.
解:4x2+16x+19=4x2+16x+16+3=4(x+2)2+3
因(x+2)2大于等于0,所以4x2+16x+19大于等于3,即4x2+16x+19的最小值是3.此时,x=﹣2
(2)求﹣m2﹣m+2的最大值
解:﹣m2﹣m+2=﹣(m2+m)+2=﹣
因大于等于0,所以﹣小于等于0,所以﹣
小于等于,即﹣m2﹣m+2的最大值是,此时,m=﹣.
(探索发现)
如图①,是一张直角三角形纸片,∠B=90°,AB=8,BC=6,小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形,经过多次操作发现,当沿着中位线DE、EF剪下时,所得的矩形的面积最大.下面给出了未写完的证明,请你阅读下面的证明并写出余下的证明部分,并求出矩形的最大面积与原三角形面积的比值.
解:在AC上任取点E,作ED⊥BC,EF⊥AB,得到矩形BDEF.设EF=x
易证△AEF∽△ACB,则,,,…
请你写出剩余部分
(拓展应用)
如图②,在△ABC中,BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上,顶点Q、M在边BC上,则矩形PQMN面积的最大值为 .(用含a,h的代数式表示)
(灵活应用)
如图③,有一块“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角),该矩形的面积为 .(直接写出答案)
(实际应用)
如图④,现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=70cm,BC=108cm,CD=76cm,且∠B=∠C=60°,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN,该矩形的面积为 .(直接写出答案)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点分别为,,.
(1)画出关于点O成中心对称的;
(2)以点A为位似中心,将放大为原来的2倍,得到,请在第二象限内画出;
(3)直接写出以点,,为顶点,以为一边的平行四边形的第四个顶点D的坐标.
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【题目】如图,在ABCD中,AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,连接BE并延长交AD于点F,已知S△AEF=4,则下列结论:①=;②△AEF∽△ACD;③S△BCE=36;④S△ABE=12.其中一定正确的是_____(填序号)
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【题目】如图,将一个小球从斜坡的点O处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,下列结论错误的是( )
A. 当小球抛出高度达到7.5m时,小球水平距O点水平距离为3m
B. 小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C. 小球落地点距O点水平距离为7米
D. 斜坡的坡度为1:2
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【题目】某商家销售一款商品,进价每件80元,售价每件145元,每天销售40件,每销售一件需支付给商场管理费5元,未来一个月按30天计算,这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动,即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元,通过市场调查发现,该商品单价每降1元,每天销售量增加2件,设第x天且x为整数的销售量为y件.
直接写出y与x的函数关系式;
设第x天的利润为w元,试求出w与x之间的函数关系式,并求出哪一天的利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】某商场为了吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘,如图所示,并规定:顾客消费200元(含200元)以上,就能获得一次转动转盘的机会,如果转盘停止后,指针正好对准九折、八折、七折区域,顾客就可以获得此项优惠,如果指针恰好在分割线上时,则需重新转动转盘.
(1)某顾客正好消费220元,他转一次转盘,他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少?
(2)某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会,实际付费168元,请问他消费所购物品的原价应为多少元.
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【题目】现有甲、乙、丙三人组成的篮球训练小组,他们三人之间进行互相传球练习,篮球从一个人手中随机传到另外一个人手中计作传球一次,共连续传球三次.
(1)若开始时篮球在甲手中,则经过第一次传球后,篮球落在丙的手中的概率是 ;
(2)若开始时篮球在甲手中,求经过连续三次传球后,篮球传到乙的手中的概率.(请用画树状图或列表等方法求解)
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