Question

3．如图，以O为圆心的两个同心圆，大圆半径为5，小圆半径为$\sqrt{5}$，点P为大圆上的一点，PC、PB切小圆于点A、点B，交大圆于C、D两点，点E为弦CD上任一点，则AE+OE的最小值为$\sqrt{53}$．

Answer 1

分析 连接PO，并延长OP到O′交CD于点G，使OG=O′G，连接AO′交CD于点E，连接OE，过点A作AF⊥OP，垂足为F，由切线的性质可知OB⊥PD，由垂径定理可知PB=BD，在Rt△OPB中，由勾股定理可知PB=2$\sqrt{5}$，故此PD=4$\sqrt{5}$，同理可知PC=4$\sqrt{5}$，从而得到PC=PD，然后证明PO平分∠CPD，由等腰三角形三线合一的性质可知PG⊥DC，依据锐角三角函数的定义可知OF=1，AF=2，PG=8，从而求得OO′=7，在Rt△AFO′中，由勾股定理可知AO′=$\sqrt{53}$．

解答 解：如图所示：连接PO，并延长OP到O′交CD于点G，使OG=O′G，连接AO′交CD于点E，连接OE，过点A作AF⊥OP，垂足为F．

∵PB是小圆的切线，
∴OB⊥PD．
∴PB=BD．
在Rt△OPB中，PB=$\sqrt{O{P}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴PD=4$\sqrt{5}$．
同理：PC=4$\sqrt{5}$．
∴PC=PD．
∵PA、PB是小圆的切线，
∴PO平分∠CPD．
∴PG⊥DC．
∴CD是OO′的垂直平分线．
∴OE=O′E．
∴AE+EO=AE+EO′=AO′．
∵cos∠AOF=$\frac{AO}{OP}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴OF=AO×cos∠AOF=$\sqrt{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=1，AF=2OF=2．
∵PG=PC×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$4\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=8，
∴OG=PG-OP=3．
∴OO′=1+3+3=7．
在Rt△AFO′中，AO′=$\sqrt{A{F}^{2}+FO{′}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{53}$．
故答案为：$\sqrt{53}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理、线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．