Question

已知关于x的方程x²-（m-3）x+m-4=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）先计算判别式的值得到△=（m-5）²，利用非负数的性质得△≥0，然后根据判别式的意义判断根的情况；
（2）利用求根公式解方程得到x₁=m-4，x₂=1，再利用方程有一个根大于4且小于8得4＜m-4＜8，然后解不等式组即可．

解答：（1）证明：△=（m-3）²-4（m-4）
=m²-10m+25
=（m-5）²，
∵（m-5）²≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）x=

m-3±(m-5)

2

，得x₁=m-4，x₂=1，
∵方程有一个根大于4且小于8，
∴4＜m-4＜8，
∴8＜m＜12．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．