Question

【题目】如图，在正方形中，是边上的动点（与点、不重合），且，于点，与的延长线交于点，连接、．

（1）求证：①；②；

（2）若，在点运动过程中，探究：

①线段的长度是否改变？若不变，求出这个定值；若改变，请说明理由；

②当为何值时，为等腰直角三角形．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①在点运动过程中，的长度不变，且CG=2；②AE=．

【解析】

（1）①由题意易得△DEF是等腰直角三角形，即得DE=DF，然后根据正方形的性质和SAS即可证得结论；

②根据全等三角形的性质可得，根据余角的性质可得，从而可得，于是可得结论；

（2）①由、可得，然后根据直角三角形斜边中线的性质即得结论；

②解法一：如图1，延长交于点，易证是等腰直角三角形，即，设，则，由为等腰直角三角形可得，进而可得，由即可求出x的值，即为AE的值；

解法二：如图2，过点作交的延长线于点，根据AAS易证，所以，，从而可得是等腰直角三角形，由CG=2可得MC的长，进而可得MB的长，即为AE的长；

解法三：如图3，过点作于点，由B、C、F、G四点共圆可得∠BCG=∠BFG=45°，从而可得是等腰直角三角形，可得，进而可得NH的长，由即可求出FC，即为AE的长．

（1）证明：①∵四边形是正方形，

∴，．

∵，

∴△为等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴；

②∵，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴；

（2）①在点运动过程中，的长度不变．

∵，，

∴．

∵，

∴（定值）；

②解法一：如图1，延长交于点．

∵，，

∴．

∵，

∴是等腰直角三角形，即．

设，则．

∵为等腰直角三角形，，

∴．

∵，

∴，

∴．

在等腰中，∵，∴．

解得：，即．

②解法二：如图2，过点作交的延长线于点，则∠MGB=∠CGF，

∵∠M+∠MCG=90°，∠GCF+∠MCG=90°，

∴∠M=∠GCF，

又∵GB=GF，

∴，

∴，，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴．

②解法三：如图3，过点作于点，

∵∠BGF+∠BCF=180°，

∴B、C、F、G四点共圆，

∴∠BCG=∠BFG=45°，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴．

∵，即，

∴，

∴．