Question

【题目】如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA、OC．

（1）求证：△OAD∽△ABD；

（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；

（3）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，如果S22＝S1S3，试证明点D为线段AC的黄金分割点．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）或；（3）见解析．

【解析】

（1）先判断出，即可得出结论；

（2）分两种情况：当时，先判断出是等边三角形，进而判断出，再求出即可得出结论；当，利用等腰直角三角形，即可得出结论；

（3）先表示出，，，再由，得出，化简得出，即可得出结论．

（1）证明：，，

，

，

，

；

（2）解：是直角三角形，

当时，连接，如图1，

，

，

，

，

是等边三角形，

，，

，

，

，

，

在中，，

，

，

；

当时，连接，如图2，

，

，

，

故、两点的距离为或；

（3）证明：如图3，

过点作于，于，

由（1）知，，

，

、、的面积分别为，，，

，

，

，

点为线段的黄金分割点．