Question

【题目】如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，动点P从点C开始，以1cm/s的速度在BC的延长线上向右匀速运动，连接AP交CD边于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交CD的延长线于点Q，设点P的运动时间为t．

（1）若DQ=3cm，求t的值；
（2）设DQ=y，求出y与t的函数关系式；
（3）当t为何值时，△CPE与△AEQ的面积相等？
（4）在动点P运动过程中，△APQ的面积是否会发生变化？若变化，求出△APQ的面积S关于t的函数关系式；若不变，说明理由，并求出S的定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD为矩形，

∴CD=AB=4cm，

∵AP沿直线AD翻折得到AQ，

∴QD=DE=3cm，

∴CE=CD﹣DE=4﹣3=1（cm），

当运动t秒时，则PC=tcm，

∴BP=（t+6）cm，

∵CD∥AB，

∴△PCE∽△PBA，

∴ = ，即 = ，

解得t=2

（2）

解：同（1）可知DE=DQ=y，则CE=4﹣y，

同理可得 = ，即 = ，

整理可得y=

（3）

解：不变，理由如下：

由（2）可知当CP=t时，QD= ，

则QE=2QD= ，CE=4﹣QD=4﹣ = ，

∴S△AEQ= QEAD= × ×6= ，

S△CPE= CPCE= ×t× = ，

当S△CPE=S△AEQ时，则有 = ，

解得t=6 或t=﹣6 （舍去），

∴当t的值为6 秒时，△CPE与△AEQ的面积相等

（4）

解：由（3）可知QE= ，

∴S△APQ=S△AQE+S△PQE= QEAD+ QECP= QE（AD+CP）= × ×（t+6）=24，

∴△APQ的面积为24，不变

【解析】（1）由折叠可知QD=DE，可求得CE，再利用平行可得△PCE∽△PBA，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；（2）同（1）可用y表示出CE，同理可利用相似三角形的性质可得到关于y与t的函数关系式；（3）利用（2）中的关系式可用t表示出QE、CE，则可用t分别表示出△CPE与△AEQ的面积，由面积相等可得到关于t的方程，可求得t；（4）由（3）可用t分别表示出QE、CE，可表示出△APQ的面积为定值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解三角形的面积(三角形的面积=1/2×底×高)．