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【题目】已知H为射线OA上一定点,P为射线OB上一点,M为线段OH上一动点,连接PM,满足为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转,得到线段PN,连接ON

1)依题意补全图1

2)求证:

3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ON=QP,并证明.

【答案】1)如图所示见解析;(2)见解析;(3OP=2.证明见解析.

【解析】

1)根据题意画出图形即可.
2)由旋转可得∠MPN=150°,故∠OPN=150°-OPM;由∠AOB=30°和三角形内角和180°可得∠OMP=180°-30°-OPM=150°-OPM,得证.
3)根据题意画出图形,以ON=QP为已知条件反推OP的长度.由(2)的结论∠OMP=OPN联想到其补角相等,又因为旋转有PM=PN,已具备一边一角相等,过点NNCOB于点C,过点PPDOA于点D,即可构造出PDM≌△NCP,进而得PD=NCDM=CP.此时加上ON=QP,则易证得OCN≌△QDP,所以OC=QD.再设DM=CP=x,所以OC=OP+PC=2+xMH=MD+DH=x+1,由于点MQ关于点H对称,得出DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x,得出OC=DQ,再利用SAS得出OCN≌△QDP即可

解:(1)如图1所示为所求.

2)设∠OPM=α
∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN
∴∠MPN=150°PM=PN
∴∠OPN=MPN-OPM=150°-α
∵∠AOB=30°
∴∠OMP=180°-AOB-OPM=180°-30°-α=150°-α
∴∠OMP=OPN

3OP=2时,总有ON=QP,证明如下:
过点NNCOB于点C,过点PPDOA于点D,如图2


∴∠NCP=PDM=PDQ=90°
∵∠AOB=30°OP=2

DH=OH-OD=1
∵∠OMP=OPN
180°-OMP=180°-OPN
即∠PMD=NPC
PDMNCP

∴△PDM≌△NCPAAS
PD=NCDM=CP
DM=CP=x,则OC=OP+PC=2+xMH=MD+DH=x+1
∵点M关于点H的对称点为Q
HQ=MH=x+1
DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x
OC=DQ
OCNQDP

∴△OCN≌△QDPSAS
ON=QP

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0

0.30

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

3.50

3.68

3.81

3.90

3.93

4.10

2.88

2.81

2.69

2.67

2.80

3.15

3.85

5.24

6.01

6.71

7.27

7.44

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请你通过计算,补全表格

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