【题目】已知,H为射线OA上一定点,,P为射线OB上一点,M为线段OH上一动点,连接PM,满足为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转,得到线段PN,连接ON.
(1)依题意补全图1;
(2)求证:;
(3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ON=QP,并证明.
【答案】(1)如图所示见解析;(2)见解析;(3)OP=2.证明见解析.
【解析】
(1)根据题意画出图形即可.
(2)由旋转可得∠MPN=150°,故∠OPN=150°-∠OPM;由∠AOB=30°和三角形内角和180°可得∠OMP=180°-30°-∠OPM=150°-∠OPM,得证.
(3)根据题意画出图形,以ON=QP为已知条件反推OP的长度.由(2)的结论∠OMP=∠OPN联想到其补角相等,又因为旋转有PM=PN,已具备一边一角相等,过点N作NC⊥OB于点C,过点P作PD⊥OA于点D,即可构造出△PDM≌△NCP,进而得PD=NC,DM=CP.此时加上ON=QP,则易证得△OCN≌△QDP,所以OC=QD.再设DM=CP=x,所以OC=OP+PC=2+x,MH=MD+DH=x+1,由于点M、Q关于点H对称,得出DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x,得出OC=DQ,再利用SAS得出△OCN≌△QDP即可
解:(1)如图1所示为所求.
(2)设∠OPM=α,
∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN
∴∠MPN=150°,PM=PN
∴∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-α
∵∠AOB=30°
∴∠OMP=180°-∠AOB-∠OPM=180°-30°-α=150°-α
∴∠OMP=∠OPN
(3)OP=2时,总有ON=QP,证明如下:
过点N作NC⊥OB于点C,过点P作PD⊥OA于点D,如图2
∴∠NCP=∠PDM=∠PDQ=90°
∵∠AOB=30°,OP=2
∴DH=OH-OD=1
∵∠OMP=∠OPN
∴180°-∠OMP=180°-∠OPN
即∠PMD=∠NPC
在△PDM与△NCP中
∴△PDM≌△NCP(AAS)
∴PD=NC,DM=CP
设DM=CP=x,则OC=OP+PC=2+x,MH=MD+DH=x+1
∵点M关于点H的对称点为Q
∴HQ=MH=x+1
∴DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x
∴OC=DQ
在△OCN与△QDP中
∴△OCN≌△QDP(SAS)
∴ON=QP
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【题目】如图,已知△ABC为和点A'.
(1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC,S△A'B'C'=4S△ABC;
(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点,D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点,求证:△DEF∽△D'E'F'.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC边上的一点,增加下列条件,不能得出BE∥DF的是( )
A. AE=CF B. BE=DF C. ∠EBF=∠FDE D. ∠BED=∠BFD
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【题目】边长为6的等边△ABC中,点D、E分别在AC、BC边上,DE∥AB,EC=2.
(1)如图1,将△DEC沿射线EC方向平移,得到△D′E′C′,边D′E′与AC的交点为M,边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N,当CC′多大时,四边形MCND′为菱形?并说明理由.
(2)如图2,将△DEC绕点C旋转∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,连接AD′、BE′.边D′E′的中点为P.
①在旋转过程中,AD′和BE′有怎样的数量关系?并说明理由;
②连接AP,当AP最大时,求AD′的值.(结果保留根号)
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【题目】在平面内,给定不在同一直线上的点A,B,C,如图所示.点O到点A,B,C的距离均等于a(a为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G,的平分线交图形G于点D,连接AD,CD.
(1)求证:AD=CD;
(2)过点D作DEBA,垂足为E,作DFBC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接CM.若AD=CM,求直线DE与图形G的公共点个数.
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【题目】已知抛物线经过点,与轴交于点.
求这条抛物线的解析式;
如图1,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形的面积最大时,求点的坐标;
如图2,线段的垂直平分线交轴于点,垂足为为抛物线的顶点,在直线上是否存在一点,使的周长最小?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在中,,点为的中点,.将绕点顺时针旋转度,角的两边分别交直线于两点,设点间的距离为,两点间的距离为.
小涛根据学习函数的经验,对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究下面是小涛的探究过程,请补充完整.
(1)列表:下表的已知数据是根据两点间的距离进行取点、画图、测量,分别得到了 与 的几组对应值:
0 | 0.30 | 0.50 | 1.00 | 1.50 | 2.00 | 2.50 | 3.00 | 3.50 | 3.68 | 3.81 | 3.90 | 3.93 | 4.10 | ||
2.88 | 2.81 | 2.69 | 2.67 | 2.80 | 3.15 | 3.85 | 5.24 | 6.01 | 6.71 | 7.27 | 7.44 | 8.87 |
请你通过计算,补全表格
(2)描点、连线:在平面直角坐标系中,描出表中各组数值所对应的点,并画出函数关于的图象:
(3)探究性质:随着自变量的不断增大,函数的变化趋势:
(4)解决问题:当时,的长度大约是____ (保留两位小数).
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【题目】如图,在Rt△ABE中,∠B=90°,以AB为直径的⊙O交AE于点C,CE的垂直平分线FD交BE于D,连接CD.
(1)判断CD与⊙O的位置关系,并证明;
(2)若AC·AE=12,求⊙O的半径.
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【题目】如图,在正方形网络中,△ABC的三个顶点都在格点上,点A、B、C的坐标分别为(-2,4)、(-2,0)、(-4,1),结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:
(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1.
(2)平移△ABC,使点A移动到点A2(0,2),画出平移后的△A2B2C2并写出点B2、C2的坐标.
(3)在△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2中,△A2B2C2与 成中心对称,其对称中心的坐标为 .
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