Question

【题目】已知抛物线经过点，与轴交于点．

求这条抛物线的解析式；

如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标；

如图2，线段的垂直平分线交轴于点，垂足为为抛物线的顶点，在直线上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ;（2）点的坐标为；（3）

【解析】

（1） 用待定系数法即可得到答案;

（2）连接，设点，由题意得到．即可得到答案.

（3）用待定系数法求解析式，再结合勾股定理即可得到答案.

解：抛物线经过点，

，

解得

抛物线解析式为；

如图1，连接，设点，其中，四边形的面积为，由题意得，

，

，

，

．

，开口向下，有最大值，

当时，四边形的面积最大，

此时，，即．

因此当四边形的面积最大时，点的坐标为．

，

顶点．

如图2，连接交直线于点，此时，的周长最小．

设直线的解析式为，且过点，，

直线的解析式为．

在中，．

为的中点，

，

，

，

，

，

，

，

由图可知

设直线的函数解析式为，

解得：

直线的解析式为．

解得：

．