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【题目】已知点M(32),抛物线Lyx23x+cx轴从左到右的交点为AB

1)若抛物线L经过点M(32),求抛物线L的解析式和顶点坐标;

2)当2OAOB时,求c的值;

3)直线yx+b经过点M,与y轴交于点N,①求点N的坐标;②若线段MN与抛物线Lyx23x+c有唯一公共点,直接写出正整数c的值.

【答案】1y=x23x+2,顶点坐标为(,﹣);(22或﹣18;(3)①(0,﹣1)②13

【解析】

1)把点M的坐标代入抛物线解析式,利用方程求得c的值;将已得函数解析式配方,可以求得顶点坐标.

2)设A0),则OB=2OA=2||,需对的正负性进行分类讨论.若0,则B20),根据点AB关于抛物线对称轴对称可求得的值,再把点A坐标代入抛物线解析式,解方程即求得c的值.若0,则B(﹣20),计算方法与前面一样.

3)①利用待定系数法确定一次函数解析式,令x=0即求得点N的坐标.

②由于抛物线开口方向、大小,及对称轴固定,可把抛物线看作上下平移,再观察其与线段MN的交点情况.先联立直线MN和抛物线解析式得到关于x的一元二次方程,计算0c的值,把c的值代回方程组求得直线和抛物线此时的交点,落在线段MN上,说明c的值满足条件.把抛物线向下平移,刚好过点M时求出c的值,此时直线与抛物线由两个交点;继续往下平移抛物线,就变成只有一个交点;一直到抛物线经过点N为止,求c的值,于是得到满足条件的c的范围,再取正整数即为所求.

1)∵抛物线Ly=x23x+c经过M32

99+c=2

解得:c=2

y=x23x+2=x2

∴抛物线L的解析式为:y=x23x+2,顶点坐标为(,﹣

2)设A0),则OA=||OB=2OA=2||

①若0,则B20

∵抛物线对称轴为直线:x=,点AB关于对称轴对称

,即

解得:=1

A10)代入抛物线解析式得:13+c=0

解得:c=2

②若0,则B(﹣20

解得:=3

A(﹣30)代入抛物线解析式得:9+9+c=0

解得:c=18

综上所述,c的值为2或﹣18

3)①∵直线y=x+b经过点M32

3+b=2,解得:b=1

∴直线解析式为y=x1

x=0时,y=1

∴点N坐标为(0,﹣1

②联立直线MN与抛物线解析式得:

整理得:x24x+c+1=0

当直线与抛物线只有一个交点时,=(﹣424c+1=0

解得:c=3

∴方程的解为:

∴此时交点在线段MN上,即c=3满足线段MN与抛物线Ly=x23x+c有唯一公共点

当抛物线经过点M时,解得c=2,此时抛物线与线段MN2个公共点

当抛物线往下平移到经过点N时,解得c=1,此时抛物线与线段MN只有交点N

∴当﹣1≤c2时,抛物线与线段MN只有一个公共点

∴满足条件的正整数c的值为13

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