Question

【题目】如图，在中，，点P为内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值，小华的解题思路，以点A为旋转中心，将顺时针旋转得到，那么就将求PA+PB+PC的值转化为求PM+MN+PC的值，连接CN，当点P，M落在CN上时，此题可解．

（1）请判断的形状，并说明理由；

（2）请你参考小华的解题思路，证明PA+PB+PC=PM+MN+PC；

（3）当，求PA+PB+PC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）等边三角形，见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据旋转的性质可以得出，即可证明出是等边三角形；

（2）绕点A顺时针旋转得到，根据的旋转的性质得到，，相加即可得；

（3）由（2）知，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC取到最小，由，，可得CN垂直平分AB，再利用直角三角形的边角关系，从而求出PA+PB+PC的最小值．

（1）等边三角形；

绕A点顺时针旋转得到MA，

，

是等边三角形.

（2）绕点A顺时针旋转得到，

，由（1）可知，

.

（3）由（2）知，当C、P、M、N四点共线时，PA+PB+PC取到最小．

连接BN，

由旋转的性质可得：AB=AN，∠BAM=60°

∴是等边三角形；

，

，

是AB的垂直平分线，垂足为点Q，

，

，

，

即的最小值为.