【题目】情境观察:
如图1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分别为D、E,CD与AE交于点F.
①写出图1中所有的全等三角形 ;
②线段AF与线段CE的数量关系是 .
问题探究:
如图2,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为D,AD与BC交于点E.
求证:AE=2CD.
拓展延伸:
如图3,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,点D在AC上,∠EDC=∠BAC,DE⊥CE,垂足为E,DE与BC交于点F.求证:DF=2CE.
要求:请你写出辅助线的作法,并在图3中画出辅助线,不需要证明.
【答案】①△ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB;②AF=2CE.见解析
【解析】
试题分析:情境观察:①由全等三角形的判定方法容易得出结果;
②由全等三角形的性质即可得出结论;
问题探究:延长AB、CD交于点G,由ASA证明△ADC≌△ADG,得出对应边相等CD=GD,即CG=2CD,证出∠BAE=∠BCG,由ASA证明△ADC≌△CBG,得出AE=CG=2CD即可.
拓展延伸:作DG⊥BC交CE的延长线于G,同上证明三角形全等,得出DF=CG即可.
情境观察:
解:①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB;
故答案为:△ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB
②线段AF与线段CE的数量关系是:AF=2CE;
故答案为:AF=2CE.
问题探究:
证明:延长AB、CD交于点G,如图2所示:
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠GAD,
∵AD⊥CD,
∴∠ADC=∠ADG=90°,
在△ADC和△ADG中,
,
∴△ADC≌△ADG(ASA),
∴CD=GD,即CG=2CD,
∵∠BAC=45°,AB=BC,
∴∠ABC=90°,
∴∠CBG=90°,
∴∠G+∠BCG=90°,
∵∠G+∠BAE=90°,
∴∠BAE=∠BCG,
在△ABE和△CBG中,
,
∴△ADC≌△CBG中(ASA),
∴AE=CG=2CD.
拓展延伸:
解:作DG⊥BC交CE的延长线于G,
如图3所示.
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【题目】练习本比水性笔的单价少2元,小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元. 如果设水性笔的单价为x元,那么下列所列方程正确的是( )
A.5(x-2)+3x=14
B.5(x+2)+3x=14
C.5x+3(x+2)=14
D.5x+3(x-2)=14
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知O是坐标原点,B、C两点的坐标分别为(3,﹣1)、(2,1).
(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2),画出图形;
(2)分别写出B、C两点的对应点B′、C′的坐标;
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x,y),写出M的对应点M′的坐标.
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【题目】如图,AB是⊙O直径,OC⊥AB,弦CD与OB交于点F,过点D、A分别作⊙O的切线交于点G,切线GD与AB延长线交于点E.
(1)求证:∠C+∠EDF=90°
(2)已知:AG=6,⊙O的半径为3,求OF的值.
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【题目】试通过画图来判定,下列说法正确的是( )
A. 一个直角三角形一定不是等腰三角形 B. 一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形 D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形
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【题目】小乐的数学积累本上有这样一道题:
解方程:﹣
=1
解:去分母,得6(2x+1)﹣(5x﹣1)=6…第一步
去括号,得4x+2﹣5x﹣1=6…第二步
移向、合并同类项,得x=5…第三步
方程两边同除以﹣1,得x=﹣5…第四步
在题后的反思中看,小郑总结到:解一元一次方程的一般步骤都知道,却没有掌握好,因此解题时有一步出现了错误…
小乐的解法从第 步开始出现错误,然后,请你自己细心地解下面的方程:
2﹣(x+2)=
(x﹣1)
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【题目】根据道路交通管理条例的规定,在某段笔直的公路l上行驶的车辆,限速60千米/时.已知测速点M到测速区间的端点A,B的距离分别为50米、34米,M距公路l的距离(即MN的长)为30米.现测得一辆汽车从A到B所用的时间为5秒,通过计算判断此车是否超速.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,半径为1的⊙A的圆心与坐标原点O重合,线段BC的端点分别在x轴与y轴上,点B的坐标为(6,0),且sin∠OCB=.
(1)若点Q是线段BC上一点,且点Q的横坐标为m.
①求点Q的纵坐标;(用含m的代数式表示)
②若点P是⊙A上一动点,求PQ的最小值;
(2)若点A从原点O出发,以1个单位/秒的速度沿折线OBC运动,到点C运动停止,⊙A随着点A的运动而移动.
①点A从O→B的运动的过程中,若⊙A与直线BC相切,求t的值;
②在⊙A整个运动过程中,当⊙A与线段BC有两个公共点时,直接写出t满足的条件.
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