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【题目】我们规定:平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d,点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D,定义点A到图形G的距离跨度为R=D﹣d.
(1)①如图1,在平面直角坐标系xOy中,图形G1为以O为圆心,2为半径的圆,直接写出以下各点到图形G1的距离跨度: A(1,0)的距离跨度
B(﹣ )的距离跨度
C(﹣3,﹣2)的距离跨度
②根据①中的结果,猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是
(2)如图2,在平面直角坐标系xOy中,图形G2为以D(﹣1,0)为圆心,2为半径的圆,直线y=k(x﹣1)上存在到G2的距离跨度为2的点,求k的取值范围.
(3)如图3,在平面直角坐标系xOy中,射线OP:y= x(x≥0),⊙E是以3为半径的圆,且圆心E在x轴上运动,若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2,直接写出圆心E的横坐标xE的取值范围

【答案】
(1)2;2;4;圆
(2)解:设直线y=k(x+1)上存在到G2的距离跨度为2的点P(m,k(m+1)),

∴OP=

由(1)②知,圆内一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍,圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径,

∵图形G2为以C(1,0)为圆心,2为半径的圆,到G2的距离跨度为2的点,

∴距离跨度小于图形G2的圆的直径4,

∴点P在图形G2⊙C内部,

∴R=2OP=2

∵直线y=k(x+1)上存在到G2的距离跨度为2的点P,

∴2 =2,

∴(k2+1)m2+2(k2﹣1)m+k2=0①,

∵存在点P,

∴方程①有实数根,

∴△=4(k2﹣1)2﹣4×(k2+1)k2=﹣12k2+4≥0,

∴﹣ ≤k≤


(3)﹣1≤xE≤2
【解析】解:(1)①∵图形G1为以O为圆心,2为半径的圆, ∴直径为4,
∵A(1,0),OA=1,
∴点A到⊙O的最小距离d=1,
点A到⊙O的最大距离D=3,
∴点A到图形G1的距离跨度R=D﹣d=3﹣1=2;
∵B(﹣ ),
∴OB= =1,
∴点B到⊙O的最小距离d=BG=OG﹣OB=1,
点B到⊙O的最大距离D=BF=FO+OB=2+1=3,
∴点B到图形G1的距离跨度R=D﹣d=3﹣1=2;
∵C(﹣3,﹣2),
∴OC= =
∴点C到⊙O的最小距离d=CD=OC﹣OD= ﹣2,
点C到⊙O的最大距离D=CE=OC+OE=2+
∴点C到图形G1的距离跨度R=D﹣d=2+ ﹣( ﹣2)=4;
所以答案是2,2,4.②a、设⊙O内一点P的坐标为(x,y),
∴OP=
∴点P到⊙O的最小距离d=2﹣OP,点P到⊙O的最大距离D=2+OP,
∴点P到图形G1的距离跨度R=D﹣d=2+OP﹣(2﹣OP)=2OP;
∵图形G1的距离跨度为2,
∴2OP=2,
∴OP=1,
=1,
∴x2+y2=1,
即:到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心,1为半径的圆.
b、设⊙O外一点Q的坐标为(x,y),
∴OQ=
∴点Q到⊙O的最小距离d=OQ﹣2,点P到⊙O的最大距离D=OQ+2,
∴点P到图形G1的距离跨度R=D﹣d=OQ+2﹣(OQ﹣2)=4;
∵图形G1的距离跨度为2,
∴此种情况不存在,
所以,到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心,1为半径的圆.
所以答案是:圆;(3)如图,作EC⊥OP于C,交⊙E于D、H.

由题意:⊙E是以3为半径的圆,且圆心E在x轴上运动,若射线OP上存在点到⊙E的距离跨度为2,此时以E为圆心1为半径的圆与射线OP相切,当以E为圆心1为半径的圆与射线OP有交点时,满足条件,
∴CD=2,CH=4,CE=1,
∵射线OP的解析式为y=
∴∠COE=30°,OE=2CE=2,
当E′(﹣1,0)时,点O到⊙E的距离跨度为2,
观察图象可知,满足条件的圆心E的横坐标xE的取值范围:﹣1≤xE≤2.
所以答案是:﹣1≤xE≤2.

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