Question

20．观察等式：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$
将以上三个等式两边分别相加得：
$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（1）猜想并写出：$\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$．（不必求出答案）
（2）直接写出下式的计算结果：$\frac{2014}{2015}$.$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2014×2015}$．

Answer 1

分析 （1）分子是1，分母是两个连续自然数的乘积，可以拆成以这两个自然数为分母，分子为1的两个分数的差，由此规律得出答案即可；
（2）利用（1）中的规律拆分后抵消得出答案即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{2014×2015}$=$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$；
（2）.$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2014×2015}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$
=1-$\frac{1}{2015}$
=$\frac{2014}{2015}$．
故答案为：$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$；$\frac{2014}{2015}$．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字的拆分规律，利用规律解决问题．