Question

如图，正五边形ABCDE中，对角线AD，CE相交于F．求证：
（1）△AEF是等腰三角形；
（2）四边形ABCE是等腰梯形．

Answer 1

考点：等腰梯形的判定,等腰三角形的判定

专题：证明题

分析：（1）根据正五边形的内角和求得正五边形的各个角的度数，然后利用等腰三角形的性质求得△AEF的各个角的度数，根据等角对等边即可证得；
（2）根据（1）的计算，即可证明∠BAE+∠AEC=180°，即可证得AB∥CE，然后根据正多边形的定义证得．

解答：证明：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形的各角都是180°-

360°

5

=108°，
∵△CDE中，CD=DE，
∴∠CED=

180°-108°

2

=36°，
同理，∠DAE=36°，
∴∠AEC=108°-36°=72°，
∴∠AFE=180°-36°-72°=72°，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AF=AE，即△AEF是等腰三角形；
（2）∵∠BAE+∠AEC=108°+72°=180°，
∴AB∥CE，
又∵BC=AE，
∴四边形ABCE是等腰梯形．

点评：本题考查了正多边形的计算，以及等腰三角形的性质，和等腰梯形的定义，正确求得图中角的度数是关键．