Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，AB=10，过点A的直线交半圆于点C，且sin∠CAB=，连结BC，点D为BC的中点．已知点E在射线AC上，△CDE与△ACB相似，则线段AE的长为________；

Answer 1

【答案】3或9 或或

【解析】

先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.

∵AB是半圆O的直径，

∴∠ACB=90，

∵sin∠CAB=，

∴,

∵AB=10，

∴BC=8，

∴,

∵点D为BC的中点,

∴CD=4.

∵∠ACB=∠DCE=90,

①当∠CDE1=∠ABC时，△ACB∽△E1CD,如图

∴，即，

∴CE1=3，

∵点E1在射线AC上，

∴AE1=6+3=9，

同理：AE2=6-3=3.

②当∠CE3D=∠ABC时，△ABC∽△DE3C，如图

∴，即，

∴CE3=，

∴AE3=6+=,

同理：AE4=6-=.

故答案为：3或9 或或.