Question

【题目】如图，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A（-1，0）．过点A作直线y=x+c与抛物线交于点D，动点P在直线y=x+c上，从点A出发，以每秒个单位长度的速度向点D运动，过点P作直线PQ∥y轴，与抛物线交于点Q，设运动时间为t（s）.

（1）直接写出b，c的值及点D的坐标；

（2）点 E是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△CBE的面积为6时，求出点E 的坐标；

（3）在线段PQ最长的条件下，点M在直线PQ上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）b=2，c=1，D（2，3）；（2）E(4，-5) ；（3）N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0)

【解析】

（1）将点A分别代入y=-x2+bx+3，y=x+c中求出b、c的值，确定解析式，再解两个函数关系式组成的方程组即可得到点D的坐标；

（2））过点E作EF⊥y轴，设E（x，-x2+2x+3），先求出点B、C的坐标，再利用面积加减关系表示出△CBE的面积，即可求出点E的坐标.

（3）分别以点D、M、N为直角顶点讨论△MND是等腰直角三角形时点N的坐标．

（1）将A（-1,0）代入y=-x2+bx+3中，得-1-b+3=0，解得b=2，

∴y=-x2+2x+3，

将点A代入y=x+c中，得-1+c=0，解得c=1，

∴y=x+1，

解，解得，（舍去），

∴D（2,3）.

∴b= 2 ，c= 1 ，D（2,3）.

（2）过点E作EF⊥y轴，

设E（x，-x2+2x+3）,

当y=-x2+2x+3中y=0时，得-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1（舍去），

∴B(3，0).

∵C(0，3)，

∴，

∴，

解得x1=4,x2=-1（舍去），

∴E(4，-5).

（3）∵A(-1，0),D(2，3),

∴直线AD的解析式为y=x+1,

设P（m，m+1），则Q（m，-m2+2m+3），

∴线段PQ的长度h=-m2+2m+3-（m+1）=，

∴当=0.5，线段PQ有最大值.

当∠D是直角时，不存在△MND是等腰直角三角形的情形；

当∠M是直角时，如图1，点M在线段DN的垂直平分线上，此时N1（2,0）；

当∠M是直角时，如图2，作DE⊥x轴，M2E⊥HE，N2H⊥HE,

∴∠H=∠E=90,

∵△M2N2D是等腰直角三角形，

∴N2M2=M2D,∠N2M2D=90,

∵∠N2M2H=∠M2DE,

∴△N2M2H≌△M2DE,

∴N2H=M2E=2-0.5=1.5，M2H=DE，

∴E(2，-1.5)，

∴M2H=DE=3+1.5=4.5，

∴ON2=4.5-0.5=4，

∴N2(-4，0)；

当∠N是直角时，如图3，作DE⊥x轴，

∴∠N3HM3=∠DEN3=90,

∵△M3N3D是等腰直角三角形，

∴N3M3=N3D,∠DN3M3=90，

∵∠DN3E=∠N3M3H，

∴△DN3E≌△N3M3H，

∴N3H=DE=3，

∴N3O=3-0.5=2.5，

∴N3(-2.5，0)；

当∠N是直角时，如图4，作DE⊥x轴，

∴∠N4HM4=∠DEN4=90,

∵△M4N4D是等腰直角三角形，

∴N4M4=N4D,∠DN4M4=90，

∵∠DN4E=∠N4M4H，

∴△DN4E≌△N4M4H，

∴N4H=DE=3，

∴N4O=3+0.5=3.5，

∴N4(3.5，0)；

综上，N(2，0)，N(-4，0)，N(-2.5，0)，N(3.5，0).